SISTEMAS NUMERICOS
Un sistema de numeración es
un conjunto de símbolos y reglas de generación que permiten
construir todos los números válidos.
Un sistema de numeración puede representarse como:
Donde:
·
es
el sistema de numeración considerado (p.ej. decimal, binario, etc.).
·
es
el conjunto de símbolos permitidos en el sistema. En el caso del sistema
decimal son {0,1,...9}; en el binario son {0,1}; en el octal son {0,1,...7}; en
el hexadecimal son {0,1,...9, A, B, C, D, E, F}.
·
son
las reglas que nos indican qué números son válidos en el sistema, y cuáles no.
En un sistema de numeración posicional las reglas son bastante
simples, mientras que la numeración romana requiere reglas algo más
elaboradas.
Estas reglas son diferentes para cada sistema de numeración considerado, pero una regla
común a todos es que para construir números válidos en un sistema de numeración
determinado sólo se pueden utilizar los símbolos permitidos en ese sistema.
Para indicar en qué sistema de numeración se
representa una cantidad se añade como subíndice a la derecha el número de símbolos que se
pueden representar en dicho sistema.
Un sistema a
numérico es un conjunto de números que se relacionan para expresar la relación
existente entre la cantidad y la unidad.
Debido a que un número es un símbolo, podemos encontrar
diferentes representaciones para expresar una cantidad. Se clasifican en:
posicionales y no posicionales.
Sistemas
posicionales: En ellos, cada cifra de un
valor numérico constituye al valor final dependiendo del valor y de la posición que ocupa dentro del
valor relativo. Por lo tanto, los números mayores a la base se representan con
una infinidad de cifras, ya que el valor final serán una cantidad de potencias
del sistema (B):
N= A n . B n + A n-1 . B n-1 +… + A 1
. B 1 + A 0 . B 0
Donde, A i son las distintas cifras del valor
numerico e ‘i’ su posicion.
Sistemas no posicionales: Al contrario del sistema anterior,
en caso la contribucion de cada cifra no depende de el lugar que ocupa. Un
ejemplo de este sistema serian los numeros romanos:
La combinacion MCMXCVIII equivale a 1998. Podemos ver como M,
C se repiten dos veces y siempre tienen el mismo valor que en este caso M tiene
un valor de 1000 y C 100 unidades, independientemente de su posicion.
Los sistemas numéricos más
importantes son: Sistema numérico
Romano.
Sistema numérico Arábigo (decimal).
Sistema numérico Binario.
Sistema numérico Romano
El sistema de enumeración romano se compone de siete letras mayúsculas que representan a siete números Arábigos.
Reglas del sistema numérico romano:
Hay cuatro reglas fundamentales en el sistema numérico
romano. Estas reglas son:
·
Una letra escrita a la derecha de otra de
igual o mayor valor le suma a esta su valor.
·
Las letras “Y, X y C” escritas a la izquierda
de una de las dos siguientes de mayor valor, le restaña esta su valor.
·
Solo las letras “I, X, C, y M” se pueden repetir, y solo tres veces como
máximo.
·
Una raya escrita encima de una o varias
letras multiplica su valor por 1.000. Solo se usa para números iguales o
mayores a 4.000.
Sumar y restar con números ROMANOS
Para
sumar números romanos debemos seguir los siguientes pasos:
1.-
Convertimos las restas en sumas. Por ejemplo, IX debería ser reescrito como
VIIII.
2.-
Concatenamos los dos números que queremos sumar.
3.-
Ordenamos los símbolos en orden decreciente según su valor.
4.-
Hacemos sumas internas de derecha a izquierda. Por ejemplo, si aparece IIIII lo
reemplazamos por V.
5.-
Volvemos a convertir a restas en los lugares donde sea necesario para respetar
las reglas de escritura antes descritas.
Ejemplo:
™ 38 + 63
1.
XXXVIII + LXIII
2.
XXXVIIILXIII
3.
LXXXXVIIIIII
4.
LXXXXXI
5.
LXLXI = 101
38
+ 63= 101
La
resta de números romanos es algo más sencilla que la suma. Los pasos a seguir
para A - B son los siguientes:
• 1.- Convertimos las restas en sumas
• 2.- Eliminamos los símbolos comunes a A y a
B
• 3.- Para el símbolo más grande que quede en B
expandimos tomamos el primer símbolo de A mayor que él y lo expandimos.
Después
volvemos a aplicar el paso 2.-. Hacemos esto las veces que sea necesario
• 4.- Volvemos a pasar a restas donde sea
necesario
Ejemplo:
™ 45 – 21
1.
XLV – XXI
2.
XLVXXI
3.
LXXXVI
4.
LXXXVI
5.
LXXXVI = 14
45
– 21 = 14
Sistema numérico Arábigo
(decimal)
El sistema
de numeración decimal, también llamado sistema
decimal, es un sistema de
numeración posicional en el que las cantidades se representan utilizando como base aritmética las potencias del número diez. El conjunto de símbolos
utilizado (sistema de numeración arábiga) se compone de diez cifras : cero(0) - uno(1) - dos(2) - tres(3) - cuatro(4) - cinco(5) - seis(6) -siete(7) - ocho(8) y nueve(9).
Excepto en ciertas
culturas, es el sistema usado habitualmente en todo el mundo y en todas las
áreas que requieren de un sistema de numeración. Sin embargo hay ciertas
técnicas, como por ejemplo en la informática, donde se utilizan sistemas de
numeración adaptados al método del binario o el hexadecimal.
Ejemplo:
22510= 2.10 2 + 2.10 1
+5.10 0 = 200+20+5
Otro ejemplo:
O también:
Se puede extender este método para los decimales, utilizando las potencias negativas de diez, y un separador decimal entre la parte entera y la parte fraccionaria.
·
Ejemplo:
O también:
Sistema numérico BINARIO
El antiguo matemático indio Píngala presentó la primera descripción que se
conoce de un sistema de numeración binario en el siglo tercero antes de nuestra
era, lo cual coincidió con su descubrimiento del concepto del número cero.
Una serie completa de
8 trigramas y 64 hexagramas (análogos a 3 bits)
y números binarios de 6 bits eran conocidos en la antigua China en el texto
clásico del I Ching. Series
similares de combinaciones binarias también han sido utilizadas en sistemas de
adivinación tradicionales africanos, como el Ifá,
así como en la geomancia medieval occidental.
Un arreglo binario
ordenado de los hexagramas del I Ching, representando la
secuencia decimal de 0 a 63, y un método para generar el mismo fue desarrollado
por el erudito y filósofo Chino Adgart en el siglo XI.
El sistema binario,
llamado también sistema diádico en ciencias
de la computación, es un sistema
de numeración en el que los números se representan utilizando solamente
las cifras cero y uno (0 y 1). Es uno de los que se utiliza en las computadoras, debido a que
trabajan internamente con dos niveles de voltaje,
por lo cual su sistema de numeración natural es el sistema binario (encendido 1, apagado 0).
3542= 3·103 +5·102 +4·101
+2·100
3542= 3·1000+ 5·100 + 4·40 + 2·1
3542= 3000 + 500 + 40 + 2
Por ejemplo, para convertir al sistema
binario el número 7710 haremos una serie de
divisiones que arrojarán los restos siguientes:
77 : 2 = 38 Resto: 1
38 : 2 = 19 Resto: 0
19 : 2 = 9 Resto: 1
9 : 2 = 4 Resto: 1
4 : 2 = 2 Resto: 0
2 : 2 = 1 Resto: 0
1 : 2 = 0 Resto: 1
y, tomando los restos en orden inverso
obtenemos la cifra binaria:
7710 =
10011012
